MAT282 Johdatus diskreettiin matematiikkaan
1. välikoe ke 25.10.2000 klo 8-11

1. Tarkastellaan perusjoukon $\{1,2,\dots,n\}$ kaikkien mahdollisten ositusten joukkoa ${\cal E}_n$. Määritellään tässä joukossa osittainjärjestys $\sqsubseteq$ seuraavasti: $E \sqsubseteq E'$, jos ositus $E$ on hienompi kuin ositus $E'$, so. jokainen $E$:n luokka sisältyy johonkin $E'$:n luokkaan. Siten esimerkiksi joukossa ${\cal E}_3$ on voimassa $\{\{1\},\{2\},\{3\}\} \sqsubseteq \{\{1,2\},\{3\}\}$, mutta ositukset $\{\{1,2\},\{3\}\}$ ja $\{\{1\},\{2,3\}\}$ eivät ole vertailtavissa.
   1. Piirrä Hasse-kaaviot järjestyksistä $({\cal E}_2, \sqsubseteq)$ ja $({\cal E}_3, \sqsubseteq)$. Montako alkiota on joukoissa ${\cal E}_4$ ja ${\cal E}_5$?
   2. Kuvaile yleisesti järjestystä $({\cal E}_n, \sqsubseteq)$. Mitkä ovat sen pienin ja suurin alkio? Montako alkiota siinä on kaikkiaan? Mitkä ovat annetun osituksen $E \in {\cal E}_n$ välittömät seuraajat? Montako niitä on?

2. Tarkastellaan $n$-alkioisen perusjoukon $A$ osajoukkoja. Monellako tavalla voidaan muodostaa joukkopari $(X,Y)$, $X \subseteq A$, $Y \subseteq A$, siten että $X \neq Y$? Entä jos vaaditaan lisäksi että $X \subseteq Y$?

3. Kuusi avioparia järjestää tanssiaiset. Monellako tavalla osallistujat voidaan ryhmitellä tanssipareiksi, kun vaaditaan ettei mikään aviopari tanssi toistensa kanssa? (Vihje: Seulayhtälö.)

4. Piensijoittaja F. U. Tuuri hoitaa sijoitussalkkuaan seuraavan strategian mukaan: kunkin viikon alussa hän ostaa uusia osakkeita vastaavalla summalla kuin hänen salkkunsa arvo oli kaksi viikkoa aiemmin, ja myy osakkeita salkun kolme viikkoa aiempaa arvoa vastaavalla summalla. (Pörssikurssien mahdollinen muu kehitys jätetään huomiotta.) Selvitä F. U. Tuurin salkun arvon kehitys, kun hän aloittaa sijoittamisen viikon 0 alussa yhden euron suuruisella summalla.

Pisteytys: tehtävät 1 ja 4 á 8 pistettä, tehtävät 2 ja 3 á 7 pistettä, yhteensä 30 pistettä.