Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj5
Previous: harj5
- Tasoon piirretään
ei-yhdensuuntaista suoraa niin, että
mitkään kolme niistä eivät leikkaa samassa pisteessä.
(So. jokainen ``uusi'' suora leikkaa kaikki ``vanhat''
suorat, kunkin eri pisteessä.) Merkitään
:llä näin
muodostuvien erillisten tasoalueiden määrää: siis
,
,
,
jne.
Muodosta perusteltu rekursioyhtälö lukujonolle
ja
ratkaise se.
- Ratkaise generoivia funktioita käyttäen rekursioyhtälö:
- Todista generoivia funktioita käyttäen oikeaksi
seuraava binomikerroinyhtälö
(ns. Vandermonden konvoluutio):
(Vihje:
.) Keksitkö
tulokselle myös kombinatorisen todistuksen?
- Montako kokonaislukuratkaisua on yhtälöllä
,
kun vaaditaan että kunkin muuttujan arvo on vähintään 2 ja
enintään 4?
- Kombinaatioteknologian tiedekunnan
tiedekuntaneuvostoon kuuluu yhteensä 9 jäsentä kolmesta
ryhmästä: professorit, muu henkilökunta ja opiskelijat.
Monellako tavalla neuvosto voidaan muodostaa
niin, että jokaisesta ryhmästä on siinä ainakin yksi
edustaja, mutta millään ryhmällä ei ole ehdotonta
enemmistöä? (Vihje: Sovella geometrisen sarjan summakaavaa
ja
harjoitusten 4 tehtävän 5 tuloksia.)
- Laatikossa on 30 sinistä, 40 punaista ja 50 vihreää
palloa. Montako erilaista 70 pallon kokoelmaa laatikosta
voidaan muodostaa? (Vihje: Kuten edellä.)
- Yliopiston ruokajonossa on satunnaisessa järjestyksessä
opiskelijaa.
Ruoka-annos maksaa 10 mk, ja puolella opiskelijoista on mukanaan
tasaraha, puolella taas 20 mk seteli. Ruokalan vaihtokassa on aluksi
tyhjä. Mikä on todennnäköisyys, että kassa pystyy palvelemaan kaikki
jonossa olevat opiskelijat, ilman että vaihtorahat loppuvat kesken?
(Vihje: Merkitään
:llä sellaisten suotuisten
jonojärjestysten määrää, joissa vaihtokassa pysyy ei-negatiivisena
koko jonon ajan. Selvästi on
. Arvo
,
,
voidaan päätellä esim. tarkastelemalla, monenko opiskelijaparin
jälkeen vaihtokassa menee nollaan ensimmäisen kerran. Jos kassa
nollautuu vasta lopussa, niin ensimmäisellä opiskelijalla
on kymppi, viimeisellä kaksikymppinen, ja koko väliajan kassa on
aidosti positiivinen: tällaisia jonojärjestyksiä on
kappaletta. Muussa tapauksessa kassa nollautuu ensimmäisen kerran
:n opiskelijaparin jälkeen, missä
. Tällöin...)
Kurssin ensimmäisen välikokeen 25.10. koealue on harjoituksissa 1-5
käsitellyt asiat. Henkilöt, joille 25.10. koepäivä ei tenttien
päällekkäisyyksien takia käy, voivat ilmoittautua luennoijalle
keskustellakseen kokeen korvaamisesta 15.11. pidettävällä loppukokeella.
Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj5
Previous: harj5
Pekka Orponen
2000-10-19