Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj2
Previous: harj2
- Todista seuraavat väitteet:
- Kaikki luonnollisten lukujen joukon
osajoukot ovat joko äärellisiä tai numeroituvasti äärettömiä.
- Karteesinen tulo
on
numeroituvasti ääretön. (Vihje: Ajattele parit
sijoitetuksi
kaksiulotteiseen taulukkoon. Numeroi taulukon alkiot
vasemmalta alhaalta oikealle ylös suuntautuvin vinorivein.)
Huom.: Tuloksesta seuraa helposti, että myös
rationaalilukujen joukko on numeroituvasti
ääretön.
- Osoita, että missä tahansa henkilön ryhmässä on ainakin
kaksi jäsentä, jotka ovat tuttuja tasan yhtä monen ryhmään
kuuluvan henkilön kanssa. Omaa itseä ei lueta tuttujen joukkoon,
ja tuttavuusrelaatio on symmetrinen, niin että jos on :n
tuttu, niin myös on :n tuttu.
(Vihje: Kyyhkyslakkaperiaate.)
- Korttipakassa on 52 korttia, jotka jakautuvat neljään ``maahan''
(hertta, ruutu, risti, pata). Kuhunkin maahan kuuluvat kortit on
numeroitu 1,...,13.
- Montako erilaista viiden kortin ``pokerikättä'' (viiden
kortin osajoukkoa) pakan korteista voidaan muodostaa? (Jos
sinulla ei ole laskinta, kaava riittää vastaukseksi.)
- Monellako tavalla korteista voidaan muodostaa viiden
kortin ``väri'', so. viiden kortin osajoukko jonka kaikki
kortit ovat keskenään samaa maata?
- Monellako tavalla korteista voidaan muodostaa ``täyskäsi'',
so. viiden kortin osajoukko joka koostuu ``kolmosista''
(kolme keskenään samanarvoista korttia) ja ``parista''
(kaksi keskenään samanarvoista korttia)? (Sama kortti ei
tietenkään täyskädessä voi kuulua sekä kolmosiin että pariin.)
- Todista seuraavat binomikertoimien ominaisuudet:
-
Päättele tästä, että
binomikertoimet ovat :n suhteen kasvavia
(
), kun ,
ja väheneviä
(
), kun .
- Vahvista Pascalin kaava
suoraan binomikertoimien aritmeettisesta määritelmästä
laskemalla.
-
induktiolla :n suhteen. Mikä tuttu kaava tästä
saadaan :n arvolla 1? Keksitkö yhtälölle myös
kombinatorisen todistuksen?
- Arvioi ``keskimmäisen'' binomikertoimen
suuruutta käyttäen
kertomafunktiolle Stirlingin approksimaatiota:
.
- Luonnolliset luvut ja ovat pareittain
jaottomia, jos niillä ei ole yhteisiä tekijöitä,
so. jos niiden suurin yhteinen tekijä on
.
Ns. Eulerin funktio ilmaisee annettua
lukua pienempien, :n kanssa pareittain jaottomien
lukujen määrän, so.
(Siten esim. , .)
Totea seulayhtälöä käyttämällä että jos luvun
eri alkutekijät ovat , ,..., , niin
Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj2
Previous: harj2
Pekka Orponen
2000-10-05