Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj1
Previous: harj1
- Fibonaccin luvut
,
, määritellään
kaavoilla
,
,
, kun
.
(Lukusarjan ensimmäiset luvut ovat siis 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)
Todista induktiolla indeksin
suhteen, että kaikilla
on voimassa
missä luku
on ns. ``kultaisen leikkauksen suhde''
.
- Olkoon
. Piirrä Hasse-kaavio järjestysrelaatiosta
, missä
(Tässä siis relaatio
on kokonaislukujen tavanomainen järjestys.)
Onko vastaava relaatio, jonka määrittelyssä on ``ja''-sana korvattu
``tai''-sanalla, myös osittainjärjestys?
- Luettele kaikki joukon
ekvivalenssirelaatiot (ositukset).
- Piirrä kaikkien joukon
järjestysrelaatioiden (osittainjärjestysten) Hasse-kaaviot.
- Kuvaile yleisesti järjestettyjen
joukkojen
ja
rakennetta. (Merkintä ``|'' tarkoittaa
tässä kokonaislukujen jaollisuusrelaatiota:
, jos
on
:n
tekijä.) Mitkä ovat järjestysten
minimialkiot? Annetun alkion välittömät seuraajat? Miten pitkä voi
kummassakin järjestyksessä olla maksimaalisen pitkä ketju, so. täydellisesti järjestetty alkiojono
?
- Osoita, että jokainen äärellinen järjestetty joukko
sisältää maksimaalisen, mutta ei välttämättä suurinta
alkiota.
- Luonnollisten lukujen induktioperiaatteen mukaan mille
tahansa luonnollisten lukujen ominaisuudelle
on voimassa,
että jos
on tosi ja implikaatio
on tosi kaikilla
,
niin
on tosi kaikilla
.
Todista periaate oikeaksi lähtien tiedoista, että
luonnollisten lukujen suuruusjärjestys
on
hyvinjärjestys, jolla on pienin alkio
, ja lisäksi jokaisella
alkiolla
on välitön edeltäjä
.
Next: Tästä dokumentista ...
Up: harj1
Previous: harj1
Pekka Orponen
2000-10-05