Taso 4 (ylemmälle tasolle)
Kolmogorovin aksioomat
On olemassa näyteavaruus S, joka koostuu tapahtumista wi.
Lisäksi on olemassa kenttä F, joka koostuu S:n osajoukoista fi.
Kentällä F on seuraavat ominaisuudet
- S kuuluu F:ään.
- F on sigma-kenttä, mikä tarkoittaa sitä, että jos fi
kuuluu F:ään, myös fi:n komplementti S:n suhteen
(¬fi = S - fi) kuuluu F:ään.
- F on suljettu numeroituvien yhdisteiden suhteen, eli jos
numeroituvan moni fi kuuluu F:ään, myös niiden
yhdiste kuuluu F:ään.
Tässä oli siis joukko-oppiosuus. Lisäksi F:ssä on määritelty
todennäköisyysmitta P, jolle pätee
- P(S) = 1.
- P(fi) >= 0 kaikille fi:lle, jotka kuuluvat F:ään.
- Jos f1, ..., fn ovat pistevieraita F:n alkioita,
silloin P(f) = P(f1) + ... + P(fn), missä f on
yhdiste f1 + ... + fn.
- Jos jono f1 >= f2 >= ... lähestyy tyhjää joukkoa,
silloin P(fi) lähestyy nollaa.
Ehdollinen todennäköisyys ei sisälly aksioomiin vaan se on määritelmä:
P(a | b) = P(a,b) / P(b),
missä
P(b) = P(a1, b) + ... + P(an, b)
on myös määritelmä. (Edellisessä parit (ai,
b) ovat F:n alkioita).
Päivitetty 8.10.1998
Harri Lappalainen
<Harri.Lappalainen@hut.fi>